“formulas”
Fórmulas de Geometría
Fórmulas de perímetros y áreas
Triángulo
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
P = 2 · (a + b)
A = b · h
Trapecio
Polígono
A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4
Polígono regular
n es el número de lados.
Longitud de la circunferencia
Longitud de un arco de circunferencia
Círculo
Sector circular
Corona circular
Trapecio circular
Segmento circular
Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB
Problemas y ejercicios resueltos de áreas
Fórmulas de áreas y volúmenes
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro
Cubo
Ortoedro
Prisma
Pirámide
Tronco de pirámide
Cilindro
Cono
Tronco de cono
Esfera
Huso y cuña
Casquete esférico
Zona esférica
Geometría analítica plana
Vectores
Coordenadas de un vector
Módulo
Vector unitario
Suma
Resta
Producto de un vector por un escalar
Producto escalar de vectores
Expresión analítica del producto escalar
Expresión analítica del módulo de un vector
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Expresión analítica de la ortogonalidad de dos vectores
Proyección
Combinación lineal de vectores
Sistema de referencia
Distancia entre dos puntos
Coordenadas del punto medio
Simétrico de un punto
División de un segmento
Puntos alineados
Coordenadas del baricentro
Ecuaciones de la recta
Vectorial
Paramétricas
Continua
Pendiente
Punto-pendiente
General
Explícita
Canónica o segmentaria
Que pasa por dos puntos
Paralelas al eje OX
Paralelas al eje OY
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
Posiciones relativas
Secantes
Paralelas
Coincidentes
Ángulo que forman dos rectas
Distancia de un punto a una recta
Ecuaciones de las bisectrices
Ecuación de la mediatriz
Cónicas
Ecuación de la circunferencia
Ecuación reducida
Ecuación de la elipse
Excentricidad
Ecuación reducida
De eje vertical
De eje horizontal y centro distinto al origen
De eje vertical y centro distinto al origen
Ecuación de la hipérbola
Excentricidad
Asíntotas
Ecuación reducida
F'(-c,0) y F(c,0)
De eje vertical
F'(0, -c) y F(0, c)
De eje horizontal y centro distinto al origen
Donde A y B tienen signos opuestos.
De eje vertical y centro distinto al origen
Hipérbola equilátera
Asíntotas
,
Excentricidad
Referida a sus asíntotas
Ecuación de la parábola
Ecuación reducida de la parábola
De ejes el de abscisas y de vértice (0, 0)
De ejes el de ordenadas y de vértice (0, 0)
Paralela a OX y vértice distinto al origen
Paralela a OY, y vértice distinto al origen
Geometría en el espacio
Vectores en el espacio
Componentes de un vector en el espacio
Módulo de un vector
Distancia entre dos puntos
Vector unitario
Suma de vectores
Producto de un número real por un vector
Vectores linealmente dependientes
Vectores linealmente independientes
Producto escalar
Expresión analítica del módulo de un vector
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Vectores ortogonales
Proyección
Cosenos directores
Producto vectorial
Área del paralelogramo
Área de un triángulo
Producto mixto
Volumen del paralelepípedo
Volumen de un tetraedro
Puntos
Coordenadas del punto medio de un segmento
Coordenadas del baricentro de un triángulo
Puntos alineados
Tres o más puntos esán alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.
Puntos coplanarios
Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.
Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.
Rectas en el espacio
Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones continuas de la recta
Ecuaciones implícitas de la recta
El plano
Ecuación vectorial del plano
Ecuaciones paramétricas del plano
Ecuación general o implícita del plano
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Ángulos
Ángulo entre dos rectas
Dos rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.
Ángulo entre dos planos
Dos planos son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.
Ángulo entre recta y plano
Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.
Distancias
Distancia entre un punto y una recta
Distancia entre rectas paralelas
Distancia entre rectas que se cruzan
Sean y las determinaciones lineales de las rectas r y s.
Distancia de un punto a un plano
Distancia entre planos paralelos
Fórmulas de Aritmética
Número mixto
Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.
Reducción de fracciones a común denominador
1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Multiplicación de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.
.
Potencia de fracciones
Propiedades
Fracción generatriz
Pasar de decimal exacto a fracción
Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Propiedades de las potencias
Potencias de exponente 0
a0 = 1
50 = 1
Potencias de exponente 1
a1 = a
51 = 5
Potencias de exponente entero negativo
Potencias de exponente racional
Potencias de exponente racional y negativo
Multiplicación de potencias con la misma base
am · a n = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
División de potencias con la misma base
am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
Potencia de un potencia
(am)n=am · n
(25)3 = 215
Multiplicación de potencias con el mismo exponente
an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
División de potencias con el mismo exponente
an : b n = (a : b) n
63 : 33 = 23
Ejercicios
33 · 34 · 3 = 38
57 : 53 = 54
(53)4 = 512
(5 · 2 · 3) 4 = 304
(34)4 = 316
[(53)4]2 = (512)2 = 524
(82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218
(93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312
25 · 24 · 2 = 210
27 : 26 = 2
(22)4 = 28
(4 · 2 · 3)4 = 244
(25)4 = 220
[(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1
(272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330
(43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212
(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512
(−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32
2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = 1/2
22 : 23 = 2−1 = 1/2
2−2 : 23 = 2−5 = (1/2)5 = 1/32
22 : 2−3 = 25 = 32
2−2 : 2−3 = 2
Fórmulas y propiedades de los radicales
Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Expresión de un radical en forma de potencia
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.
Reducción de radicales a índice común
1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Proporcionalidad
Razón
Proporción
Constante de proporcionalidad
Propiedad de las proporciones
Proporción continua
Medio proporcional
Tercero proporcional
Cuarto proporcional
Porcentajes
Repartos directamente proporcionales
Repartos inversamente proporcionales
Regla de tres simple directa
Regla de tres simple inversa
Regla de tres compuesta directa
Regla de tres compuesta inversa
Regla de tres compuesta mixta
Ejercicios
Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.
2 kg 0.80 €
5 kg x €
3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.
3 obreros 12 h
6 obreros x h
11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
220 · 48 m² 6 días 11 obreros
300 · 56 m² 5 días x obreros
Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
6 grifos 10 horas 1 depósito 400 m³
4 grifos x horas 2 depósitos 500 m³
El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?
100 € 116 €
1200 € x €
Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
100 € 92 €
450 € x €
Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?
Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.
Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
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